Méthode des multiplicateurs de Lagrange
Soit \(f(x_1,...,x_N\) une fonction à \(N\) variables non indépendantes. Il y a \(M\) contraintes:
$$C_1(x_1,...,x_N)=0$$
$$C_2(x_1,...,x_N)=0$$
Les \(c_i\) sont des fonctions qui caractérisent ces contraintes.
La méthode de Lagrange:
$$F(x_1,...,x_N)={{f(x_1,...,x_N)-a_1C_1(x_1,...,x_N)-...-a_MC_M(x_1,...,x_N)}}$$
En supposant que les \(x_N\) sont indépendantes.
Ensuite, on minimise \(F\).
Les \(C_M\) sont appelés les multiplicateur de Lagrange
Il suffit de regarder:
$$dF=\sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)_{x_j, j\neq i} dx_i$$
Maximum quand:
$$\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)_{x_j, j\neq i}=0 \quad \forall i$$