Math'φsics

Menu
  • Acceuil
  • Maths
  • Physique
    • Maths
    • Physique
  • Méthode des multiplicateurs de Lagrange

    Formulaire de report

    Soit \(f(x_1,...,x_N\) une fonction à \(N\) variables non indépendantes. Il y a \(M\) contraintes:
    $$C_1(x_1,...,x_N)=0$$
    $$C_2(x_1,...,x_N)=0$$
    Les \(c_i\) sont des fonctions qui caractérisent ces contraintes.
    La méthode de Lagrange:
    $$F(x_1,...,x_N)={{f(x_1,...,x_N)-a_1C_1(x_1,...,x_N)-...-a_MC_M(x_1,...,x_N)}}$$
    En supposant que les \(x_N\) sont indépendantes.
    Ensuite, on minimise \(F\).
    Les \(C_M\) sont appelés les multiplicateur de Lagrange
    Il suffit de regarder:
    $$dF=\sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)_{x_j, j\neq i} dx_i$$
    Maximum quand:
    $$\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)_{x_j, j\neq i}=0 \quad \forall i$$